Question

如图，过点A（0，a）作直线l，交圆M：（x-2）²+y²=1于点B、C，在BC上取一点P，使P点满足

AB

=λ

AC

，

BP

=λ

PC

（λ∈R），
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若点P的轨迹交圆M于点R、S，求△MRS面积的最大值．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,向量与圆锥曲线

分析：（1）分别设出P、A、B、C的坐标，求出向量的坐标，由向量共线的条件得到坐标关系，联立直线与圆的方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系得到B，C的横坐标的和与积，表示出P点坐标，消去参数k求得P的轨迹；
（2）联立P的轨迹方程和圆的方程，把△MRS面积转化为两个三角形面积的和，换元后利用函数的单调性求最值．

解答： 解：（1）设P（x，y），A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），
∵

AB

=λ

AC

，

BP

=λ

PC

（λ∈R），
∴x_B=λx_C，x-x_B=λ（x_C-x），
∴

x-xB

xC-x

=

xB

xC

，
∴x=

2xBxC

xB+xC

    ①
设过点A（0，a）的直线l的方程为y=kx+a，
联立

y=kx+a (x-2)2+y2=1

，得（1+k²）x²+（2ak-4）x+a²+3=0．
则xB+xC=

4-2ak

1+k2

，xBxC=

a2+3

1+k2

．
代入①得：x=

a2+3

2-ak

，y=kx+a=

2a+3k

2-ak

．
消去k，得2x-ay-3=0（在圆M内的部分）；
（2）设R（x₃，y₃），S（x₄，y₄），
联立

2x-ay-3=0 (x-2)2+y2=1

，得（a²+4）y²-2ay-3=0．
y3+y4=

2a

a2+4

，y3y4=

-3

a2+4

．
则|y3-y4|=

(y3+y4)2-4y3y4

=4

a2+3 (a2+4)2

．
∴S△MRS=

1

2

×

1

2

×4

a2+3 (a2+4)2

=

a2+3 (a2+4)2

=

1 (a2+3)+ 1 a2+3 +2

．
令t=a²+3（t≥3），而函数f（t）=t+

1

t

在[3，+∞）上为增函数，
∴S△MRS≤

1 3+ 1 3 +2

=

3

4

．
此时t=3，a=0．

点评：本题考查了轨迹方程，训练了平面向量在解题中的应用，考查了直线与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，训练了利用函数单调性求函数最值，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了计算能力，是高考试卷中的压轴题．