Question

如图，三棱柱ABCA₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D为棱AB的中点．
（1）证明：平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
（2）求直线BC与平面A₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）通过证明CD⊥AB，AA₁⊥CD，推出CD⊥平面A₁ABB₁，然后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
（2）过点 B 作 B G⊥A₁D交直线A₁D于点G，连接CG．说明∠BCG为直线BC与平面A₁CD所成的角，通过解三角形求解直线BC与平面A₁CD所成角的正弦值．

解答： 解：（1）证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，
又侧棱A₁A⊥底面ABC，CD?平面ABC，所以AA₁⊥CD，又AA₁∩AB=A，
因此CD⊥平面A₁ABB₁，而CD?平面A₁CD，
所以平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁．
（2）在平面A₁ABB₁内，过点 B 作 B G⊥A₁D交直线A₁D于点G，连接CG．
由于平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁，而直线A₁D是平面A₁CD与平面A₁ABB₁的交线，
故BG⊥平面A₁CD．由此得∠BCG为直线BC与平面A₁CD所成的角．
设棱长为a，可得A₁D=

5 a

2

，则△A₁AD∽△BGD，易得BG=

5 a

5

，
在Rt△BGC中，sin∠BCG=

BG

BC

=

5

5

．
所以直线BC与平面A₁CD所成角的正弦值为

5

5

．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，计算能力．