Question

已知函数f（x）=log₉（9^x+1）+kx（k∈R）为偶函数．
（1）求k的值；
（2）解关于x的不等式f(x)-log9(a+

1

a

)＞0(a＞0)．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,指、对数不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）转化为log₉

9x+1

9x

-log₉（9^x+1）=2kx恒成立求解．（2）利用（3^x-a）（3^x-

1

a

）＞0，分类讨论求解．

解答： 解：（1）∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（4⁹+1）+kx，
∴log₉

9x+1

9x

-log₉（9^x+1）=2kx，
∴（2k+1）x=0，∴k=-

1

2

，
（2）f(x)-log9(a+

1

a

)＞0⇒log9(9x+1)-

x

2

＞log9(a+

1

a

)
⇒log9

9x+1

9 x 2

＞log9(a+

1

a

)
⇒

9x+1

3x

＞a+

1

a

，
⇒(3x)2-(a+

1

a

)3x+1＞0
⇒(3x-a)(3x-

1

a

)＞0
（ I）①a＞1时⇒3^x＞a或3x＜

1

a

⇒{x|x＞log₃a或x＜log3

1

a

}，
②0＜a＜1时⇒3x＞

1

a

或3^x＜a，{x|x＞log 3

1

a

或x＜log₃a}，
③a=1时⇒3^x≠1，{x|x≠0}．

点评：本题考查了函数的性质，不等式的解法，属于中档题．