Question

2．如图，在△ABC中，D是线段BC上的一点，且$\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{BD}$，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），则λ+3μ的最小值是3．

Answer 1

分析 先确定λ，μ的关系，再利用导数法，即可求出λ+3μ的最小值．

解答 解：∵若$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），∴$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MD}$+$\overrightarrow{DB}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$，M，D，N三点共线，
∴存在实数k，使$\overrightarrow{MD}$=k$\overrightarrow{MN}$=k（$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AM}$）=-kλ$\overrightarrow{AB}$+kμ$\overrightarrow{AC}$．
∵$\overrightarrow{DB}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，∴（$\frac{1}{4}$-kλ）$\overrightarrow{AB}$+（kμ-$\frac{1}{4}$）$\overrightarrow{AC}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$，
∴$\frac{1}{4}$-kλ=1-λ，kμ-$\frac{1}{4}$=0，
∴μ=$\frac{λ}{4λ-3}$，λ+3μ=λ+$\frac{3λ}{4λ-3}$．
设f（λ）=λ+$\frac{3λ}{4λ-3}$，λ＞0，则f′（λ）=1+$\frac{-9}{{（4λ-3）}^{2}}$，
令f′（λ）=0得，λ=0，或 λ=$\frac{3}{2}$．
在（0，$\frac{3}{2}$）上，f′（λ）＜0； 在（ $\frac{3}{2}$，+∞）时，f′（λ）＞0；
∴λ=$\frac{3}{2}$时，f（λ）取极小值，也是最小值；
∴f（λ）的最小值为 3，即λ+3μ的最小值是3，
故答案为：3．

点评 考查向量的加法、减法运算，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，通过求导求函数的最小值的方法及过程，属于中档题．