Question

7．已知函数f（x）=2mx³-3nx²+10（m，n＞0）有两个不同零点，则5lg²m+9lg²n的最小值是（　　）

• A． 6
• B． $\frac{13}{9}$
• C． 1
• D． $\frac{5}{9}$

Answer 1

分析 由题意可得函数的极大值或极小值等于0，求得m、n的关系，再取对数得lgn=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$lgm，即可将问题转化为二次函数求最小值解得结论．

解答 解：∵f（x）=2mx³-3nx²+10（m，n＞0）
∴f′（x）=6mx²-6nx=6x（mx-n），
∴由f′（x）=0得x=0或x=$\frac{n}{m}$，
∵f（x）=2mx³-3nx²+10（m＞0）有且仅有两个不同的零点，又f（0）=10，
∴f（$\frac{n}{m}$）=0，即2m•（$\frac{n}{m}$）³-3n•（$\frac{n}{m}$）²+10=0，整理得n³=10m²，
两边取对数得3lgn=1+2lgm，
∴lgn=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$lgm，
∴5lg²m+9lg²n=5lg²m+9（$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$lgm）²=9lg²m+4lgm+1=9（lgm+$\frac{2}{9}$）²+$\frac{5}{9}$，
∴当lgm=-$\frac{2}{9}$时，5lg²m+9lg²n有最小值为$\frac{5}{9}$．
故选D．

点评 本题考查函数的零点的判断及利用导数研究函数的极值知识，考查学生的等价转化能力及运算求解能力，属于中档题．