Question

19．已知圆M（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）过点T（-3，-3），圆M关于直线x+y+2=0对称的圆为圆C，设P点为T点关于x+y+2=0的对称点．
（1）求圆C方程；
（2）设Q为圆C上的一个动点，求$\overrightarrow{PQ•}\overrightarrow{MQ}$的最小值；
（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB分别与x轴的交点分别为E，F，若△PEF是以P为顶点的等腰三角形，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由圆M的方程求出圆心坐标，再求出M关于直线x+y+2=0对称点C的坐标，结合圆M过T求出半径，代入圆的标准方程得答案；
（2）求出P的坐标，设Q（x₀，y₀），可得$\overrightarrow{PQ•}\overrightarrow{MQ}$=$（{x}_{0}+\frac{1}{2}）^{2}+（{y}_{0}+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{2}$，设D（$-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$），则$\overrightarrow{PQ•}\overrightarrow{MQ}$的最小值为圆x²+y²=2上的点与D的距离的最小值的平方减$\frac{9}{2}$，则$\overrightarrow{PQ•}\overrightarrow{MQ}$的最小值可求；
（3）点P（1，1）在圆C上，由题意可知，直线PA，PB的斜率都存在且互为相反数，分别设出PA，PB的方程，联立直线方程和冤案的方程求出A，B的坐标，进一步求出直线AB的斜率，可得${k}_{AB}=\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=1，又k_OP=1，得OP∥AB．

解答 解：（1）圆M（x+2）²+（y+2）²=r²的圆心坐标为M（-2，-2），
设M关于直线x+y+2=0对称的圆为圆C（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+2}{a+2}=1}\\{\frac{a-2}{2}+\frac{b-2}{2}+2=0}\end{array}\right.$，
解得：a=b=0，又圆M过点T（-3，-3），
∴r²=2，
则圆C的方程为x²+y²=2；
（2）设P（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y+3}{x+3}=1}\\{\frac{x-3}{2}+\frac{y-3}{2}+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴P（1，1），
设Q（x₀，y₀），
则$\overrightarrow{PQ•}\overrightarrow{MQ}$=（x₀-1，y₀-1）•（x₀+2，y₀+2）=（x₀-1）（x₀+2）+（y₀-1）（y₀+2）
=${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+{x}_{0}+{y}_{0}-4$=$（{x}_{0}+\frac{1}{2}）^{2}+（{y}_{0}+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{2}$，
设D（$-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$），则$\overrightarrow{PQ•}\overrightarrow{MQ}$的最小值为圆x²+y²=2上的点与D的距离的最小值的平方减$\frac{9}{2}$．
∵$|QD{|}_{min}=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow{PQ•}\overrightarrow{MQ}$的最小值为$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}-\frac{9}{2}=-4$；
（3）∵点P（1，1）在圆C上，由题意可知，直线PA，PB的斜率都存在且互为相反数，
设PA：y-1=k（x-1），即y=kx-k+1，则PB：y=-kx+k+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+（2k-2k²）x+k²-2k-1=0．
∵x=1满足方程，
∴${x}_{A}=\frac{{k}^{2}-2k-1}{1+{k}^{2}}$，同理${x}_{B}=\frac{{k}^{2}+2k-1}{1+{k}^{2}}$，
∴${k}_{AB}=\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{-k（{x}_{A}+{x}_{B}）+2k}{{x}_{B}-{x}_{A}}=1$，又k_OP=1，
∴OP∥AB．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查了点关于直线的对称点的求法，考查平面向量数量积的坐标运算，属中档题．