Question

11．已知定义在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的函数f（x）=sinx（cosx+1）-ax，若该函数仅有一个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{2}{π}$，2]
• B． （-∞，$\frac{2}{π}$）∪[2，+∞）
• C． [0，$\frac{2}{π}$）
• D． （-∞，0）∪[$\frac{2}{π}$，+∞）

Answer 1

分析 若y=f（x）仅有一个零点，则函数g（x）=sinx（cosx+1）的图象与y=ax的图象有且仅有一个交点，画出函数的图象，数形结合，可得答案．

解答 解：令g（x）=sinx（cosx+1），
则g′（x）=（2cosx-1）（cosx+1），
当x∈[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{3}$）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
当x∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
当x∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
故g（x）=sinx（cosx+1）的图象如下图所示：
当x=±$\frac{π}{2}$时，g（x）=±1，此时a=$\frac{2}{π}$，
当x=0时，g′（x）=2，
若y=f（x）仅有一个零点，
则函数g（x）=sinx（cosx+1）的图象与y=ax的图象有且仅有一个交点，

由图可得：a∈（-∞，$\frac{2}{π}$）∪[2，+∞），
故选：B．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的零点与函数图象交点的关系，难度中档．