Question

16．在梯形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，若$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AM}$+μ$\overrightarrow{AN}$，则λ+μ=（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{4}{7}$
• D． $\frac{6}{7}$

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，两式相减后整理可得答案．

解答 解：∵梯形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，
∴M、N分别为CD、BC的三等分点，

∴$\overrightarrow{MC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，
3$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{7}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\frac{9}{7}$$\overrightarrow{AN}$-$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AM}$+μ$\overrightarrow{AN}$，
∴λ+μ=$\frac{6}{7}$．
故选：D．

点评 本题考查了向量的三角形法则、向量的线性运算、共面向量基本定理、梯形的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．