Question

设x，y满足约束条件

x≥2 3x-y≥1 y≥x+1

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则ab的最大值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最小值的条件，然后利用基本不等式进行求则ab的最大值．

解答： 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
∵a＞0，b＞0，
∴直线的斜率-

a

b

＜0，
作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得y=-

a

b

x+

z

b

，由图象可知当直线y=-

a

b

x+

z

b

经过点A时，直线y=-

a

b

x+

z

b

的截距最小，此时z最小．
由

x=2 y=x+1

，解得

x=2 y=3

，即A（2，3），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，
即2a+3b=2，∴2=2a+3b≥2

6ab

，
即ab≤

1

6

，
当且仅当2a=3b=1，即a=

1

2

，b=

1

3

时取等号．
故ab的最大值为

1

6

，
故答案为：

1

6

点评：本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．