Question

如图所示，在直平行六面体ADD₁A₁-BCC₁B₁中，BC=1，CC₁=2，AB=

2

，∠BCC₁=

π

3

．
（Ⅰ）求证：BC₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）当E为CC₁的中点时，求二面角A-B₁E-A₁的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由线面垂直得AB⊥BC₁，由余弦定理和勾股定理得C₁B⊥BC，由此能证明C₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）以BC，BC₁，BA为x，y，z轴，B为坐标原点建立坐标系，利用向量法能求出二面角A-B₁E-A₁的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：由题意知，AB⊥底面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁，
在△BC₁C中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=

π

3

，
由余弦定理BC1=

BC2+CC12-2•BC•CC1cos∠BCC1

=

1+4-2•2•cos π 3

=

3

．
故有BC2+BC12=CC12，
∴C₁B⊥BC．…（4分）
而BC∩AB=B且AB，BC?平面ABC，
∴C₁B⊥平面ABC…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，C₁B⊥BC，AB⊥平面BB₁C₁C，
以BC，BC₁，BA为x，y，z轴，B为坐标原点建立坐标系，
则A(0，0，

2

)，B1(-1，

3

，0)，E(

1

2

，

3

2

，0)，…（8分）
由题意知，BE=1，B1E=

3

，BB1=2，
由勾股定理得BE⊥EB₁，又A₁B₁⊥BE，
∴BE⊥平面A₁B₁E，故

BE

为平面A₁B₁E的一个法向量，

BE

=(

1

2

，

3

2

，0)．
设平面AB₁E的法向量为n=（x，y，z）．

AB1

=(-1，

3

，-

2

)，

AE

=(

1

2

，

3

2

，-

2

)．

AB1 •n=0 AE •n=0

的一个法向量为

n

=（1，

3

，

2

，）．
∴cosθ=

BE • n

| BE |•| n |

=

2

6

6

6

cosθ=

BE •n

| BE |•|n|

=

2

6

=

6

3

．
∴二面角A-B₁E-A₁的余弦值为

6

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．