Question

     已知圆，                          

（Ⅰ）若过定点()的直线与圆相切，求直线的方程；

（Ⅱ）若过定点()且倾斜角为的直线与圆相交于两点，求线段的中点的坐标；

(Ⅲ) 问是否存在斜率为的直线，使被圆截得的弦为,且以为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线的方程；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）根据题意，设直线的方程为：

联立直线与圆的方程并整理得：     …2分

所以

从而，直线的方程为：                 …4分

（Ⅱ）根据题意，设直线的方程为：

代入圆方程得：，显然，           …6分

设则

所以点的坐标为                                …8分

（Ⅲ）假设存在这样的直线：

联立圆的方程并整理得：

当                    …9分

设则

所以                                           …10分

因为以为直径的圆经过原点，所以

均满足。

所以直线的方程为：。                  …13分

（Ⅲ）法二：可以设圆系方程

则圆心坐标，圆心在直线上，且该圆过原点。易得b的值。