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(本小题满分14分)
已知函数
(Ⅰ)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,试比较与1的大小;
(Ⅲ)求证:
(1)
(2)①当时,,即
②当时,,即
③当时,,即
(3)见解析.
(I)本小题的实质是利用导数研究函数f(x)的单调性极值,结合草图,确定出直线y=k与函数y=f(x)的图像有一个公共点时,确定k的取值范围.
(II)当a=2时,可以采用作差法比较f(x)与1的大小,然后构造函数,研究其单调区间最值,从而判断它们之间的大小关系.
(III)解决本小题最佳途径是利用(2)的结论,当时,,即
,则有, 然后解本题的另一个关键点判断出,从而证明出.
另外也可以考虑数学归纳法.
解:(Ⅰ)当时,,定义域是
, 令,得. …2分
时,,当时,
函数上单调递增,在上单调递减. ……………4分
的极大值是,极小值是
时,;当时,
仅有一个零点时,的取值范围是.………5分
(Ⅱ)当时,,定义域为


上是增函数.             ……………………7分
①当时,,即
②当时,,即
③当时,,即. …………………………………9分
(Ⅲ)(法一)根据(2)的结论,当时,,即
,则有,   . ……12分

.               ………………………14分
(法二)当时,
,即时命题成立.  …………………10分
设当时,命题成立,即
时,
根据(Ⅱ)的结论,当时,,即
,则有
则有,即时命题也成立.………13分
因此,由数学归纳法可知不等式成立.                ………………………14分
(法三)如图,根据定积分的定义,

.……11分



. ………………………………12分



.               …………………………………14分
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