(I)本小题的实质是利用导数研究函数f(x)的单调性极值,结合草图,确定出直线y=k与函数y=f(x)的图像有一个公共点时,确定k的取值范围.
(II)当a=2时,可以采用作差法比较f(x)与1的大小,然后构造函数
,研究其单调区间最值,从而判断它们之间的大小关系.
(III)解决本小题最佳途径是利用(2)的结论,当
时,
,即
.
令
,则有
, 然后解本题的另一个关键点判断出
,从而证明出
.
另外也可以考虑数学归纳法.
解:(Ⅰ)当
时,
,定义域是
,
, 令
,得
或
. …2分
当
或
时,
,当
时,
,
函数
在
、
上单调递增,在
上单调递减. ……………4分
的极大值是
,极小值是
.
当
时,
;当
时,
,
当
仅有一个零点时,
的取值范围是
或
.………5分
(Ⅱ)当
时,
,定义域为
.
令
,
,
在
上是增函数. ……………………7分
①当
时,
,即
;
②当
时,
,即
;
③当
时,
,即
. …………………………………9分
(Ⅲ)(法一)根据(2)的结论,当
时,
,即
.
令
,则有
,
. ……12分
,
. ………………………14分
(法二)当
时,
.
,
,即
时命题成立. …………………10分
设当
时,命题成立,即
.
时,
.
根据(Ⅱ)的结论,当
时,
,即
.
令
,则有
,
则有
,即
时命题也成立.………13分
因此,由数学归纳法可知不等式成立. ………………………14分
(法三)如图,根据定积分的定义,
得
.……11分
,
. ………………………………12分
,
又
,
,
.
. …………………………………14分