Question

已知M是满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，则x-y∈M；③若x∈M且x≠0，则

1

x

∈M；
（1）判断

1

3

∈M是否正确，说明理由；
（2）证明：“x∈Z”是“x∈M”的充分条件，其中Z是正整数数集；
（3）证明：若x，y∈M，则xy∈M．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,元素与集合关系的判断

专题：集合,简易逻辑

分析：（1）由①②容易得到3∈M，所以由③得到

1

3

∈M；
（2）x∈M，能得到-x∈M，由已知条件知0∈M，所以只要证明任意的正整数x∈M即可得到任意的整数x∈M，可考虑用数学归纳法来证：1，2∈M，假设k∈M，则k-（-1）=k+1∈M，所以根据数学归纳法对任意正整数x∈M，所以便得到x∈Z是x∈M的充分条件；
（3）先构造出xy=

(x+y)2

2

-

x2+y2

2

，所以可证明：若x，y∈M，则x²∈M，x+y∈M．先证明x²∈M，设x∈M，x≠0，则得到

1

x

∈M，1x-1∈M，

1

x-1

∈M，所以

1

x

-

1

x-1

=

1

x(1-x)

∈M，所以x-x²∈M，所以得到x-（x-x²）=x²∈M，由前面知，x+y∈M，

1

x

+

1

x

=

2

x

∈M，所以

x

2

∈M，所以便可得到

(x+y)2

2

，

x2+y2

2

∈M，所以得到

(x+y)2

2

-

x2+y2

2

=xy∈M．

解答： 解：（1）

1

3

∈M正确，证明如下：
由①0∈M，1∈M，由②知0-1=-1∈M；
∴1-（-1）=2∈M，2-（-1）=3∈M；
由③知

1

3

∈M；
（2）证明：由②知，若x∈M，则0-x=-x∈M，故只需证明任意正整数x∈M即可；
由（1）知，2∈M，假设正整数k∈M，则k-（-1）=k+1∈M；
∴由数学归纳法知：任意正整数x∈M；
即x∈Z，是x∈M的充分条件；
（3）证明：先证：若x∈M，则x²∈M：
由②知，若x∈M，且x≠0，∵1∈M，则x-1∈M；
由③知，

1

x

∈M，

1

x-1

∈M；
∴

1

x

-

1

x-1

=

1

x(1-x)

∈M，∴x-x²∈M；
由②知，x-（x-x²）=x²∈M；
再证：若x，y∈M，则x+y∈M：
0-y=-y∈M，∴x-（-y）=x+y∈M；
∴

1

x

+

1

x

=

2

x

∈M；
∴

x

2

∈M；
∴由前面知：(x+y)2，x2，y2，

(x+y)2

2

，

x2+y2

2

∈M；
∴

(x+y)2

2

-

x2+y2

2

=xy∈M．

点评：考查对给出的新信息的运用，以及数学归纳法在证明正整数问题的运用，而想到xy=

(x+y)2

2

-

x2+y2

2

是求解本题的关键．