Question

1．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{3}}-{y}^{2}=1$．

Answer 1

分析 运用离心率公式和渐近线方程，结合点到直线的距离公式可得b，再由a，b，c的关系，得到a，进而得到双曲线的方程．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，
则e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，
设焦点为（c，0），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
则d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b=1，
又b²=c²-a²=1，
解得a²=$\frac{1}{3}$．
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{3}}-{y}^{2}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{3}}-{y}^{2}=1$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的运用，属于基础题．