Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为e．
（Ⅰ）若e=

3

2

，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于A，B两点，若

AF2

•

BF2

=0，求k²+

81

a4-18a2

的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由e=

3

2

，右焦点为F₂（3，0），求出a，c，可得b，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线y=kx（k＞0）与椭圆联立，由根与系数的关系，结合数量积公式，即可求k²+

81

a4-18a2

的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得

c=3 c a = 3 2

，所以a=2

3

．
又由a²=b²+c²，解得b²=3．
所以椭圆的方程为

x2

12

+

y2

3

=1．                                          …（4分）
（Ⅱ）由

y=kx x2 a2 + y2 b2 =1

得（b²+a²k²）x²-a²b²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数的关系可知，x₁+x₂=0，且x1x2=-

a2b2

b2+a2k2

．   …（7分）
又

AF2

=(3-x1 ，  -y1) ，  

BF2

=(3-x2 ，  -y2)．
所以

AF2

•

BF2

=(3-x1)(3-x2)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0．
即

-a2(a2-9)(1+k2)

a2k2+(a2-9)

+9=0．                                            …（9分）
整理得k2=

a4-18a2+81

-a4+18a2

=-1-

81

a4-18a2

．                                …（11分）
所以k2+

81

a4-18a2

=-1．…（12分）

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．