Question

如图，斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是直角三角形，AC⊥CB，
∠ABC=45°，侧面A₁ABB₁是边长为a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A₁AB=60°，E、F分别是AB₁、BC的中点.
（1）求证EF//平面A₁ACC₁；
（2）求EF与侧面A₁ABB₁所成的角；
（3）求二面角的大小的余弦值.

Answer 1

（1）见解析；（2）EF与平面A₁ABB₁所成的角为30°；
（3）二面角的大小为余弦值.

(1)本题的关键是证,连接A₁B，A₁C，显然EF是三角形A₁CB的中位线，问题得证.
（2）先做出线面角是解本小题的关键.作FG⊥AB交AB于G，连EG ∵侧面A₁ABB₁⊥平面ABC且交线是AB ∴FG⊥平面A₁ABB₁，∴∠FEG是EF与平面A₁ABB₁所成的角
（3）取AB的中点M，可以证明,以BC为y轴，以MC为x轴,MA₁为z轴建立空间直角坐标系,然后利用向量法求二面角即可. 
证明： （1）∵A₁ABB₁是菱形，E是AB₁中点,∴E是A₁B中点，连A₁C ,∵F是BC中点，
∴EF∥A₁C
∵ A₁C平面A₁ACC₁，EF平面A₁ACC₁， ∴EF//平面A₁ACC₁  
（2）作FG⊥AB交AB于G，连EG ∵侧面A₁ABB₁⊥平面ABC且交线是AB ∴FG⊥平面A₁ABB₁，∴∠FEG是EF与平面A₁ABB₁所成的角
由AB=a，AC⊥BC，∠ABC=45°，得 由AA₁=AB=a，∠A₁AB=60°，
得 ∴ EF与平面A₁ABB₁所成的角为30°
（3）取AB的中点M，可以证明,以BC为y轴，以MC为x轴,MA₁为z轴建立空间直角坐标系,不难求得平面ABE的一个法向量为，平面BEC的一个法向量为，
∴ ，∴二面角的大小为余弦值.