Question

【题目】如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，点M、N分别是B1C1和A1B1的中点，AA1＝AB＝BM＝2，∠A1AB＝60°．

（1）求证：BN⊥平面A1B1C1；

（2）求二面角A1﹣AB﹣M的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）要证平面，只需证明，；

（2）建立坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角的余弦值.

（1）证明：连接MN，A1B，

∵侧面是ABB1A1菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1BB1为正三角形．

∵N是A1B1的中点，∴BN⊥A1B1，

∵AA1＝AB＝BM＝2，∴BN＝，MN＝1，∴BN2+MN2＝BM2，∴BN⊥MN，

∵A1B1∩MN＝N，∴BN⊥平面A1B1C1；

（2）取AB的中点E，连接A1E，则A1E∥BN，由（1）知A1E⊥平面ABC，

以E为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则E（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（0，，0），A（0，0，），B1（2，0，），

设M（x，y，z），由得，

∴，

∴,

平面ABA1的一个法向量为（0，1，0），

设平面MAB的法向量（x，y，z），则 ，

∴（0，﹣2，1），

∴ ，

∴二面角A1﹣AB﹣M的余弦值为．