【题目】如图,棱长为的正方体的顶点在平面内,三条棱,,都在平面的同侧. 若顶点,到平面的距离分别为,;
(1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值;
(2)求顶点到面的距离.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)作平面于,平面于,连接.过点作,垂足为点.利用勾股定理可得:..利用余弦定理可得,可得,设平面与平面所成锐二面角为,利用,即可得答案.
(2)过作平面平行于面,由(1),即可求得到平面.连接和相交于,因为是直角梯形,根据梯形中位线可知,到底面距离为,即可求出到底面距离.进而求得顶点到面的距离.
(1)如图,
作平面于,平面于,连接
过点作,垂足为点.
可得: ,
设平面与平面所成锐二面角为
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
(2)过作平面平行于面,由(1),
得到平面为:
连接和相交于,因为是直角梯形,如图:
根据梯形中位线可知,到底面距离为,
在中根据三角形中位线可知到底面距离为:.
得顶点到面的距离: .
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【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
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【题目】如图,矩形中,,,是线段上一点且满足,是线段上一动点,把沿折起得到,使得平面平面,分别记,与平面所成角为,,平面与平面所成锐角为,则:( )
A.B.C.D.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设曲线交于点,曲线与轴交于点,求线段的中点到点的距离.
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【题目】某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,折合成标准分后,最高分是10分.按成绩共分成五组:第一组[0,2),第二组[2,4),第三组[4,6),第四组[6,8),第五组[8,10),得到的频率分布直方图如图所示:
(1)分别求第三,四,五组的频率;
(2)该学校在第三,四,五组中用分层抽样的方法抽取6名同学.
①已知甲同学和乙同学均在第三组,求甲、乙同时被选中的概率
②若在这6名同学中随机抽取2名,设第4组中有X名同学,求X的分布列和数学期望.
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【题目】如图,已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形,点M、N分别是B1C1和A1B1的中点,AA1=AB=BM=2,∠A1AB=60°.
(1)求证:BN⊥平面A1B1C1;
(2)求二面角A1﹣AB﹣M的余弦值.
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