Question

已知函数f（x）的导函数为f′（x），对?x∈R，f′（x）-f（x）＜0，则对任意正数a有（　　）

• A、

  f(a)

  ea

  ＞f（0）
• B、

  f(a)

  ea

  ＜f（0）
• C、e^af（a）＞f（0）
• D、e^af（a）＜f（0）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：观察选项，前两个选项，不等式右边可以变成

f(0)

e0

，这时你应该想着构造函数

f(x)

ex

，同样后两个选项需构造函数e^xf（x）．先构造第一个函数，判断选项的正误．并且对构造的函数判断它在[0，+∞）上的单调性，判断完单调性之后，就比较容易判断选项了，并且判断B是正确的，所以不需构造第二个函数．

解答： 解：构造函数g（x）=

f(x)

ex

，则g′（x）=

f′(x)ex-f(x)ex

e2x

=

f′(x)-f(x)

ex

＜0，所以函数g（x）在[0，+∞）上是减函数．
∵a＞0，∴g（a）＜g（0），∴

f(a)

ea

＜f(0)．
故答案选B．

点评：本题需要注意和学会的是，通过观察选项，构造一个函数来解决问题．如果能构造出函数，本题就比较好求解了．