Question

已知f（x）=x-

1

2

t2+t+

3

2

为偶函数（t∈Z），且满足f（2）＜f（3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=log_a[af（x）-x]（a＞0，且 a≠1﹚在区间[2，4]上是单调递减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的奇偶性和单调性的性质，即可求出t的值，从而求f（x）的解析式；
（2）利于换元法，结合复合函数单调性之间的关系，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=x-

1

2

t2+t+

3

2

为偶函数（t∈Z），且满足f（2）＜f（3）．
∴f（x）=x-

1

2

t2+t+

3

2

在（0，+∞）上是增函数．
即-

1

2

t²+t+

3

2

＞0，即t²-2t-3＜0，解得-1＜t＜3，
∵t∈Z，∴t=0，1，2，
若t=0，则f（x）=x

3

2

为非奇非偶函数，不满足条件．
若t=1，则f（x）=x²为偶函数，满足条件．
若t=2，则f（x）=x

3

2

为非奇非偶函数，不满足条件．
故f（x）=x²．
（2）g（x）=log_a[af（x）-x]=log_a（ax²-x），
设t=ax²-x，则y=log_at，
若g（x）=log_a[af（x）-x]（a＞0，且 a≠1﹚在区间[2，4]上是单调递减函数，
则t=ax²-x和y=log_at的单调性相反，
若a＞1，则t=ax²-x在区间[2，4]上是单调递减函数，则对称轴x=-

-1

2a

=

1

2a

≥4，即a≤

1

8

，此时不满足条件．
若0＜a＜1，则t=ax²-x在区间[2，4]上是单调递增函数，则对称轴x=

1

2a

≤2，且当x=2时，t=4a-2＞0，
解得

0＜a＜1 a≥ 1 4 a＞ 1 2

，即

1

2

＜a＜1．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及复合函数单调性之间的关系，利于换元法是解决本题的关键．