Question

11．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC₁的中点，P，Q，R分别在棱C₁D₁，A₁D₁，A₁A上，且$\frac{{D}_{1}Q}{Q{A}_{1}}$=$\frac{AR}{R{A}_{1}}$=$\frac{{D}_{1}P}{P{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$．求证：平面EFG∥平面PQR．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面EFG∥平面PQR．

解答 证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=a，AB=b，DD₁=c，
∵E，F，G分别是棱AB，BC，CC₁的中点，
P，Q，R分别在棱C₁D₁，A₁D₁，A₁A上，且$\frac{{D}_{1}Q}{Q{A}_{1}}$=$\frac{AR}{R{A}_{1}}$=$\frac{{D}_{1}P}{P{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴P（0，$\frac{b}{4}$，c），Q（$\frac{a}{4}$，0，c），R（a，0，$\frac{c}{4}$），E（a，$\frac{b}{2}，0$），F（$\frac{a}{2}，b，0$），G（0，b，$\frac{c}{2}$），
$\overrightarrow{QR}$=（$\frac{3a}{4}$，0，-$\frac{3c}{4}$），$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{a}{4}$，-$\frac{b}{4}$，0），$\overrightarrow{GF}$=（$\frac{a}{2}$，0，-$\frac{c}{2}$），$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$0），
∴$\overrightarrow{QR}$∥$\overrightarrow{GF}$，$\overrightarrow{PQ}$∥$\overrightarrow{EF}$，∴PQ∥EF，QR∥GF，PQ∩QR=Q，EF∩GF=F，
PQ，QR?平面PQR，GC、CE?平面EFG，
∴平面EFG∥平面PQR．

点评 本题考查面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．