Question

（本小题满分13分）已知平面平面，四边形是矩形，， 、分别是、的中点，主（正）视图方向垂直平面时，左（侧）视图的面积为．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面平面．

 

Answer 1

（1）（2）答案见解析.

【解析】

试题分析：（1）依题意取的中点，连接，MN ，易得MN||CD且 而∥且＝故∥且＝得四边形为平行四边形，∥，由线面平行的判定定理知∥平面； （2）取中点，连接、、，则几何体的左视图即为，从而可得，由勾股定理可得为，∴，又已知平面平面，四边形是矩形易得，从而平面，故可证平面平面.

试题解析：（1）证明：方法一、取的中点，连接，

因为中，、分别是、的中点，

所以∥且＝； 1分

因为矩形中，是的中点，∥且＝；

所以∥且＝，得平行四边形，∥ 2分

因为平面，平面，所以∥平面； 4分

方法二、取的中点，连接、，

因为中，、分别是、的中点，所以∥，

因为平面， 平面，所以∥平面； 1分

同理可证∥平面； 2分

因为＝，所以平面∥平面； 3分

因为平面，所以∥平面； 4分

（2）证明：取中点，连接、、，

则矩形中，，， 5分

因为中，所以，

因为平面平面，交线为，所以平面，，

所以的面积等于几何体左（侧）视图的面积，得

即； 8分

所以中，，，

，，； 10分

因为平面平面，四边形是矩形，所以平面，

因为平面，所以； 11分

因为，所以平面； 12分

因为平面，所以平面平面． 13分

考点：空间直线与平面、平面与平面的位置关系