Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（1，sin2x），函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$．
（1）求函数f（x）在（0，$\frac{π}{4}$）的取值范围；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=3，c=1，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的坐标表示，以及二倍角公式和两角和的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，可得所求范围；
（2）由特殊角的三角函数值，可得C，再由余弦定理和面积公式，解方程可得a，b的值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
由0＜x＜$\frac{π}{4}$，可得$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
即有$\frac{1}{2}$＜sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
则函数f（x）在（0，$\frac{π}{4}$）的取值范围是（2，3]；
（2）由f（C）=3，即2sin（2C+$\frac{π}{6}$）+1=3，
即有sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，即2C+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即有k=0，可得C=$\frac{π}{6}$，
由余弦定理，可得c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{6}$，
即有1=a²+b²-$\sqrt{3}$ab，①
由S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得ab=2$\sqrt{3}$，②
解得a=$\sqrt{3}$，b=2．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的恒等变换，同时考查余弦定理和三角形的面积公式的运用，属于中档题．