Question

3．若x，y是正实数，且$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2y+1}=\frac{1}{3}$，则x²+4y²-26xy的最小值为-300．

Answer 1

分析 由条件可得y=$\frac{2x+5}{2x-4}$（x＞2），代入所求式，设为F（x），求出导数，求得单调区间，可得极值，进而得到最值．

解答 解：由$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2y+1}=\frac{1}{3}$，可得y=$\frac{2x+5}{2x-4}$（x＞2），
记F（x）=x²+4y²-26xy=x²+$\frac{（2x+5）^{2}}{（x-2）^{2}}$-$\frac{13x（2x+5）}{x-2}$，
F′（x）=2x+$\frac{2（2x+5）（-x-7）}{（x-2）^{3}}$-$\frac{26（x-5）（x+1）}{（x-2）^{2}}$，
由F′（x）=0，可得（x+1）（x-5）（x²-15x+35）=0，
解得x₁=-1（舍），x₂=$\frac{15-\sqrt{85}}{2}$≈2.89，x₃=5，x₄=$\frac{15+\sqrt{89}}{2}$≈12.11，
显然F（x）在（2，x₂）上递减，在（x₂，x₃）递增，在（x₃，x₄）递减，在（x₄，+∞）递增，
故在x₂处取得极小值，在x₃处取得极大值，在x₄处取得极小值．
则F（x₂）=F（x₄）=-300．
则有x²+4y²-26xy的最小值为-300．
故答案为：-300．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，属于中档题．