Question

15．数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，则{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 通过将等式a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹两边同时除以$\frac{1}{{2}^{n+1}}$、化简可知数列{$\frac{{a}_{n}}{\frac{1}{{2}^{n}}}$}是以首项、公差均为1的等差数列，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{\frac{1}{{2}^{n+1}}}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}_{n}}{\frac{1}{{2}^{n+1}}}$+$\frac{\frac{1}{{2}^{n+1}}}{\frac{1}{{2}^{n+1}}}$=$\frac{{a}_{n}}{\frac{1}{{2}^{n}}}$+1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{\frac{1}{{2}^{n}}}$}是以首项、公差均为1的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{\frac{1}{{2}^{n}}}$=n，
∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
故答案为：a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．