Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+2n=a_n．求证数列{a_n+2}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由S_n+2n=2a_n可求出a₁的值，当n≥2时S_n-1=2a_n-1-2（n-1），两个式子相减化简后得到递推公式，根据等比数列的定义证明数列{a_n+2}是等比数列，由等比数列的通项公式求出a_n．

解答 证明：由S_n+2n=2a_n得 S_n=2a_n-2n，
当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n，①
当n=1时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，
则当n≥2，n∈N^*时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），②
①-②得，a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2，
所以a_n+2=2（a_n-1+2），则$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n-1}+2}$=2，
所以{a_n+2}是以a₁+2=4为首项，以2为公比的等比数列．
则a_n+2=4•2^n-1，即a_n=2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查等比数列的通项公式、定义，以及数列前n项和S_n与a_n的关系式的应用，属于中档题．