Question

【题目】在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右顶点(如图所示)，点在椭圆的长轴上运动，且.设圆是以点为圆心，为半径的圆.

（1）若，圆和椭圆在第一象限的交点坐标为，求椭圆的方程；

（2）若椭圆的离心率为，过点作互相垂直的两条直线，交椭圆于P,Q两点，若直线PQ过点M，求m的值（用含的代数式表示）；

（3）当圆与椭圆有且仅有点一个交点时，求的运动范围（用含的代数式表示）.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

（1）先求圆的半径，再得B坐标，即得，根据点在椭圆上解得,（2）根据离心率得，根据BP⊥BQ，利用向量数量积化坐标表示，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简可得结果，（3）根据题意得不等式，利用坐标表示得，最后利用导数确定函数最大值，即得结果.

（1）,则

即椭圆的方程为，

（2）因为椭圆C的离心率为，则 ， ，

点，椭圆的方程为．

设直线PQ的方程为x＝ty＋m(0<m<2b)，

将x＝ty＋m代入，

得.

由题设可知Δ＝16(4b2－m2＋b2t2)＞0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝ ，y1y2＝.

而x1＋x2＝t(y1＋y2)＋2m＝.

x1x2＝(ty1＋m)(ty2＋m)＝t2y1y2＋tm(y1＋y2)＋m2＝.

由题设BP⊥BQ，即 .

＝(x1-2b，y1)(x2-2b，y2)＝(x1-2b)(x2-2b)＋y1y2＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)

＝x1x2＋y1y2－2b(x1＋x2)＋4b2 ，

化简得5m2－16bm+12b2＝0，解得m＝2b(舍)，m＝.

所以m＝.

，

，，

，

，，

所以m的取值范围是.