Question

9．若x＞1，y＞$\frac{1}{2}$，不等式$\frac{{x}^{2}}{a（2y-1）}$+$\frac{4{y}^{2}}{a（x-1）}$≥1恒成立，则实数a的最大值是（　　）

• A． 8
• B． 4
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 化简可得a≤$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$恒成立，从而令2y-1=m，x-1=n，从而化$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$=$\frac{（1+n）^{2}}{m}$+$\frac{（1+m）^{2}}{n}$，从而利用基本不等式确定最小值，从而解得．

解答 解：∵$\frac{{x}^{2}}{a（2y-1）}$+$\frac{4{y}^{2}}{a（x-1）}$≥1恒成立，
∴$\frac{1}{a}$（$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$）≥1恒成立，
∵x＞1，y＞$\frac{1}{2}$，
∴2y-1＞0，x-1＞0，
故a＞0，
故可化为a≤$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$恒成立，
令2y-1=m，x-1=n，
则2y=1+m，x=1+n，（m＞0，n＞0）；
故$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$
=$\frac{（1+n）^{2}}{m}$+$\frac{（1+m）^{2}}{n}$
≥$\frac{4n}{m}$+$\frac{4m}{n}$，
（当且仅当n=m=1时，等号成立）；
又∵$\frac{4n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥8，
（当且仅当n=m时，等号成立）；
综上所述，当n=m=1，
即x=2，y=1时，等号成立；
故$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$的最小值为8，
故实数a的最大值是8，
故选：A．

点评 本题考查了基本不等式的变形应用，考查了转化思想的应用及恒成立问题与最值问题，同时考查了换元法的应用．