Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点求证：
（1）B₁D₁⊥AE
（2）AC∥平面B₁DE．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC，BD，由已知得AC⊥BD，CE⊥BD，从而BD⊥平面ACE，由此能证明B₁D₁⊥AE．
（2）取AA₁的中点F，连接FB₁、FD、FE，由已知得四边形B₁FDE是平行四边形，由此能证明AC∥平面B₁DE．

解答： 证明：（1）连结AC，BD，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵CE⊥面ABCD，BD?面ABCD，
∴CE⊥BD，又AC∩CE=C，
∴BD⊥平面ACE，又AE?平面ACE，
∴BD⊥AE，
∵BD∥B₁D₁，∴B₁D₁⊥AE．
（2）取AA₁的中点F，连接FB₁、FD、FE，
∵FB₁=DE，FD=B₁E，
∴四边形B₁FDE是平行四边形，即B₁、F、D、E四点共面，
∵AC∥FE，且AC不在平面B₁FDE内，
∴AC∥平面B₁FDE，即AC∥平面B₁DE．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．