Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）设数列{b_n}满足，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）在中，分别令n=1、2、3即可求得a₂，a₃，a₄的值；
（2）累乘法：n＞1时，由na_n+1=2S_n①，得（n-1）a_n=2S_n-1②，①-②化简得na_n+1=（n+1）a_n，即（n＞1），则，由此可得a_n=n（n＞1），注意验证a₁；
（3）裂项相消法：由（2）可求得，各项按此规律展开即可求得T_n；
解答：解：（1）由得，a₂=2a₁=2，2a₃=2S₂，则a₃=a₁+a₂=3，
由3a₄=2S₃=2（a₁+a₂+a₃），得a₄=4；
（2）当n＞1时，由na_n+1=2S_n①，得（n-1）a_n=2S_n-1②，
①-②得na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1），化简得na_n+1=（n+1）a_n，
∴（n＞1）．
∴a₂=2，，…，，
以上（n-1）个式子相乘得（n＞1），
又a₁=1，∴；
（3）∵，
∴
=．
点评：本题考查由数列递推式求通项公式、数列求和等知识，若数列{a_n}满足：=f（n），则往往利用累乘法求a_n；若{a_n}为等差数列，公差d≠0，则数列{}的前n项和用裂项相消法求解，其中=．