Question

已知f（x）=sinx+2sin（

π

4

+

x

2

）•cos（

π

4

+

x

2

）
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（α）=

2

2

，α∈（-

π

2

，0），求α的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正弦公式、诱导公式、正弦函数的单调性即可得出．
（2）利用正弦函数所在象限的符号及其单调性即可得出．

解答：解：（1）∵f（x）=sinx+sin(

π

2

+x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)．
由-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得-

3π

4

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

4

+2kπ（k∈Z）．
∴f（x）的单调递增区间是[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]（k∈Z）；
（2）∵

2

2

=f(α)=

2

sin(α+

π

4

)，∴sin(α+

π

4

)=

1

2

．
∵α∈(-

π

2

，0)，∴-

π

4

＜α+

π

4

＜

π

4

，
∴α+

π

4

=

π

6

，解得α=-

π

12

．

点评：熟练掌握两角和的正弦公式、诱导公式、正弦函数的单调性、正弦函数所在象限的符号等是解题的关键．