Question

3．设x，y，z∈R，若x-2y+z=4．
（1）求x²+y²+z²的最小值；
（2）求x²+（y-1）²+z²的最小值．

Answer 1

分析 （1）（2）利用柯西不等式即可求解．

解答 解：（Ⅰ）由柯西不等式，
得：（x²+y²+z²）[1²+（-2）²+1²]≥（x-2y+z）²
即：6（x²+y²+z²）≥4²，
∴${x^2}+{y^2}+{z^2}≥\frac{8}{3}$，当且仅当$\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{1}$时等号成立，
故：x²+y²+z²的最小值为$\frac{8}{3}$．
（Ⅱ）由柯西不等式，
得：[x²+（y-1）²+z²][1²+（-2）²+1²]≥（x-2y+2+z）²．
即：6[x²+（y-1）²+z²]≥6²，
∴x²+（y-1）²+z²≥6，当且仅当$\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{1}$时等号成立，
故：x²+（y-1）²+z²的最小值为6．

点评 本题考查了柯西不等式的运用能力．属于基础题．