Question

1．设k是一个正整数，（1+$\frac{x}{k}$）^k的展开式中第四项的系数为$\frac{1}{16}$，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，如图，则点（x，y）恰好落在函数y=x²与y=kx的图象所围成的阴影区域内的概率为（　　）

• A． $\frac{17}{96}$
• B． $\frac{5}{32}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{7}{48}$

Answer 1

分析 先利用二项式定理求出k的值，再利用积分求阴影部分的面积，积分的上下限由方程组求得，然后利用几何概型的概率公式解答．

解答 解：根据题意得${C}_{k}^{3}$•${（\frac{1}{k}）}^{3}$=$\frac{1}{16}$，整理得5k²-24k+16=0，
解得k=4或k=$\frac{4}{5}$（不是整数，舍去）；
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y{=x}^{2}}\\{y=4x}\end{array}\right.$，
解得x=0或x=4；
∴阴影部分的面积为：
S′=${∫}_{0}^{4}$（4x-x²）dx=（2x²-$\frac{1}{3}$x³）${|}_{0}^{4}$=2×4²-$\frac{1}{3}$×4³=$\frac{32}{3}$，
任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点（x，y）对应区域面积为：
S=4×16=64，
由几何概型概率求法得点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为：
P=$\frac{S′}{S}$=$\frac{\frac{32}{3}}{64}$=$\frac{1}{6}$；
故选：C．

点评 本题主要考查了定积分、二项式定理和几何概型的概率计算问题，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取至关重要，是综合题．