Question

16．已知数列{a_n}（n∈N^*）是首项为20的等差数列，其公差d≠0，且a₁，a₄，a₅成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，当S_n＞0时，求n的最大值；
（Ⅲ）设b_n=5-$\frac{{a}_{n}}{4}$，求数列{$\frac{1}{{b}_{2n}{b}_{2n+2}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）求得S_n，解不等式-$\frac{20}{9}$（n²-10n）＞0，即可得到所求n的最大值；
（Ⅲ）求得b_n=-$\frac{10}{9}$（1-n），数列$\frac{1}{{b}_{2n}{b}_{2n+2}}$=$\frac{81}{100}$•$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{81}{200}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）数列{a_n}（n∈N^*）是首项为20的等差数列，其公差d≠0，
且a₁，a₄，a₅成等比数列，
可得a₄²=a₁a₅，
即为（20+3d）²=20（20+4d），
解得d=-$\frac{40}{9}$（d=0舍去），
数列{a_n}的通项公式为a_n=20-$\frac{40}{9}$（n-1）=$\frac{220-40n}{9}$；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，
可得S_n=20n-$\frac{1}{2}$n（n-1）•$\frac{40}{9}$=-$\frac{20}{9}$（n²-10n）＞0，
解得0＜n＜10，
则n的最大值为9；
（Ⅲ）b_n=5-$\frac{{a}_{n}}{4}$=5-$\frac{55-10n}{9}$=-$\frac{10}{9}$（1-n），
数列$\frac{1}{{b}_{2n}{b}_{2n+2}}$=$\frac{81}{100}$•$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{81}{200}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
可得前n项和T_n=$\frac{81}{200}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{81}{200}$×（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{81n}{100（2n+1）}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．