Question

18．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图如图所示，下面结论正确的是（　　）
①函数f（x）的最小正周期是2π；
②函数f（x）在区间[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]上是增函数；
③函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称；
④函数f（x）的图象可由函数g（x）=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度得到．

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 根据函数f（x）的部分图象求出f（x）的解析式，
再判断每一个命题是否正确．

解答 解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象知，
$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{3}$-（-$\frac{π}{6}$）=$\frac{π}{2}$，∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，ω=2；
根据五点法画图知，2×（-$\frac{π}{6}$）+φ=0，解得φ=$\frac{π}{3}$；
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
对于①，函数f（x）的最小正周期是T=π，①错误；
对于②，x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，
f（x）在[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]上是减函数，②错误；
对于③，x=$\frac{π}{12}$时，2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
∴函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，③正确；
对于④，由f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）=sin2（x+$\frac{π}{6}$）知，
函数f（x）的图象可由函数g（x）=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度得到，④错误；
综上，正确的命题是③．
故选：C．

点评 本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是综合题．