Question

11．四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．
（Ⅰ）求证：PN=CN；
（Ⅱ）直线MN与平面PBD相交于点F，求MF：FN．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中点E，连AE，EM，证明MN⊥平面PCD，可得MN⊥PC，即可证明PN=CN；
（Ⅱ）设M，N，C，A到平面PBD的距离分别为d₁，d₂，d₃，d₄，则d₃=2d₁，d₄=2d₂，由V_A-PBD=V_C-PBD，得d₃=d₄，则d₁=d₂，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：取PD中点E，连AE，EM，
则EM∥AN，且EM=AN，
四边形ANME是平行四边形，MN∥AE．
由PA=AD得AE⊥PD，故MN⊥PD．
又因为MN⊥CD，所以MN⊥平面PCD，
则MN⊥PC，PN=CN．…（6分）
（Ⅱ）解：设M，N，C，A到平面PBD的距离分别为d₁，d₂，d₃，d₄，则d₃=2d₁，d₄=2d₂，
由V_A-PBD=V_C-PBD，得d₃=d₄，则d₁=d₂，
故MF：FN=d₁：d₂=1：1．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查等体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．