Question

20．已知函数f（x）=3^x+λ•3^-x（λ∈R）．
（1）当λ=1时，试判断函数f（x）=3^x+λ•3^-x的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若不等式f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将λ=1代入，利用奇偶函数的定义进行判断即可；
（2）将f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，令t=3^x，t∈[1，9]，得到关于t的不等式，变形为二次函数在区间恒成立问题解答即可．

解答 解：（1）函数f（x）=3^x+λ•3^-x（λ∈R）偶函数          …（1分）
证明：当λ=1时，函数当λ=1时的定义域为R，
当λ=1时f（x）=3^x+3^-x，f（-x）=f（x）  …（5分）
所以函数f（x）=3^x+λ•3^-x为偶函数；   …（6分）
（2）由于f（x）≤6得3^x+λ•3^-x≤6，即${3}^{x}+\frac{λ}{{3}^{x}}≤6$，
令t=3^x，t∈[1，9]，
原不等式等价于t+$\frac{λ}{t}$≤6在[1，9]上恒成立，…（8分）
亦即λ≤-t²+6t在[1.9]上恒成立      …（10分）
令g（t）=-t²+6t，t∈[1，9]
当t=9时，g（t）_min=g（9）=-27，…（12分）
所以λ≤-27．…（14分）

点评 本题考查了函数的奇偶性的判定以及不等式恒成立的转化方法；属于中档题．