Question

6．已知函数f（x）=|2-$\frac{1}{x}$|
（1）求函数f（x）在[$\frac{1}{4}$，3]上的最大值
（2）是否存在实数m使得函数f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]，如果存在，求出实数m的取值范围，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）讨论当$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2}$＜x≤3时，去掉绝对值，运用单调性即可得到最大值；
（2）通过分类研究，由函数的定义域，得到函数的值域，结合已知条件，求出实数m的取值范围，得到本题结论．

解答 解：（1）当$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{1}{x}$-2递减，f（$\frac{1}{4}$）取得最大，且为2；
$\frac{1}{2}$＜x≤3时，f（x）=2-$\frac{1}{x}$递增，即有f（3）最大，且为$\frac{5}{3}$．
综上可得f（x）的最大值为2；
（2）由a＜b，ma＜mb知m（a-b）＜0，m＞0，
又∵ma≥0，∴a＞0
①当0＜a＜b≤$\frac{1}{2}$时，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}-2=mb}\\{\frac{1}{b}-2=ma}\end{array}\right.$得$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{b}$=m（b-a），$\frac{1}{a}$=mb，
∴$\frac{1}{a}$-2=$\frac{1}{a}$，a无解；
②当a≤$\frac{1}{2}$≤b时，
即有ma=0与m＞0，a＞0矛盾；
③当$\frac{1}{2}$≤a＜b时，由题意得$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{a}=ma}\\{2-\frac{1}{b}=mb}\end{array}\right.$，
即2-$\frac{1}{x}$=mx（x≥$\frac{1}{2}$）有两个不同的实数解
由2-$\frac{1}{x}$=mx 得：mx²-2x+1=0．
要使得方程有两个不等的实根，令g（x）=mx²-2x+1，
∴函数g（x）应满足 $\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{g（\frac{1}{2}）＞0}\\{\frac{1}{m}＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4-4m＞0}\\{\frac{1}{4}m-1+1＞0}\\{m＜2}\end{array}\right.$，
解得0＜m＜1．
综上可得，存在实数m∈（0，1），
使得函数f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]．

点评 本题考查了函数的最值的求法，注意运用单调性，还考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．