Question

15．已知抛物线的顶点坐标为（3，-2），且与x轴的两个交点的距离为4．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值；
（3）x为何值时，y随x的增大而减小？x为何值时，y随x的增大而增大？
（4）x为何值时，y＞0？x为何值时，y=0？x为何值时，y＜0？
（5）当2≤x≤6时，求函数的最值．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的方程为y=a（x-3）²-2，令y=0，求得方程的根，再由距离为4，解得a，即可得到函数式；
（2）由函数式，即可得到开口方向，对称轴、顶点坐标及最值；
（3）由二次函数的单调性即可得到；
（4）由二次不等式的解法，即可得到所求；
（5）由抛物线的对称轴和区间的关系，即可得到最值．

解答 解：（1）设抛物线的方程为y=a（x-3）²-2，
令y=0，则a（x-3）²=2，
解得x=3±$\sqrt{\frac{2}{a}}$，
由题意可得2$\sqrt{\frac{2}{a}}$=4，解得a=$\frac{1}{2}$，
则y=$\frac{1}{2}$x²-3x+$\frac{5}{2}$；
（2）抛物线的开口方向向上、对称轴为x=3、
顶点坐标为（3，-2）及最小值为-2；
（3）当x＜3时，y随x的增大而减小；x＞3时，y随x的增大而增大；
（4）由y=0解得x=1或5；y＞0可得x＞5或x＜1；y＜0可得1＜x＜5．
即有x＞5或x＜1时，y＞0；x=1或x=5时，y=0；1＜x＜5时，y＜0；
（5）函数y=$\frac{1}{2}$x²-3x+$\frac{5}{2}$的对称轴x=3，
3∈[2，6]，可得x=3时取得最小值-2；
由x=6取得最大值，且为$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查二次函数的解析式和性质，考查二次不等式的解法和二次函数在闭区间上最值的求法，属于基础题．