Question

4．已知集合A={x|x²-6x+8＜0}，B={x|（x-a）（x-3a）＜0}．
（1）若A⊆（A∩B），求a的取值范围；
（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求出集合A中不等式的解集，确定出A，
（1）分a大于0与a小于0两种情况考虑，求出A为B子集时a的范围即可；
（2）要满足A与B交集为空集，分a大于0，小于0和等于0三种情况考虑，求出a的范围即可．

解答 解：由集合A中的不等式x²-6x+8＜0，解得：2＜x＜4，
即A={x|2＜x＜4}，
（1）当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，
由A⊆（A∩B），可得A⊆B，得到$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥4}\end{array}\right.$，解得：$\frac{4}{3}$≤a≤2；
当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，由A⊆B，得到$\left\{\begin{array}{l}{3a≤2}\\{a≥4}\end{array}\right.$，无解，
当a=0时，B=∅，不合题意，
∴A⊆B时，实数a的取值范围为$\frac{4}{3}$≤a≤2；
（2）要满足A∩B=∅，
分三种情况考虑：
当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，由A∩B=∅，得到a≥4或3a≤2，解得：0＜a≤$\frac{2}{3}$或a≥4；
当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，由A∩B=∅，得到3a≥4或a≤2，解得：a＜0；
当a=0时，B=∅，满足A∩B=∅，
综上所述，a≤$\frac{2}{3}$或a≥4．

点评 此题考查了交集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．