Question

19．已知对任意的n∈N^*，存在a，b∈R，使得1×（n²-1²）+2×（n²-2²）+3×（n²-3²）+…+n（n²-n²）=$\frac{{n}^{2}}{4}$（an²+b）
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）用数学归纳法证明上述恒等式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别取n=1，2，得到关于a，b的方程组解得即可，
（Ⅱ）先根据当n=1时，把n=1代入求值等式成立；再假设n=k时关系成立，利用变形可得n=k+1时关系也成立，综合得到对于任意n∈N^*时都成立

解答 解：（Ⅰ）由题意1×（n²-1²）+2×（n²-2²）+3×（n²-3²）+…+n（n²-n²）=$\frac{{n}^{2}}{4}$（an²+b），
上述等式分别取n=1，2得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}（a+b）=0}\\{4a+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得1×（n²-1²）+2×（n²-2²）+3×（n²-3²）+…+n（n²-n²）=$\frac{{n}^{2}}{4}$（n²-1），
证明：①当n=1时，左边=1×（1²-1²）=0，右边=$\frac{1}{4}$×1²（1²-1）=0，等式成立，
②假设当n=k时，等式成立，即1×（k²-1²）+2×（k²-2²）+3×（k²-3²）+…+k（k²-k²）=$\frac{1}{4}$k²（k²-1），
则当n=k+1时，左边=1×[（k²-1²）+（2k+1）]+2×[（k²-2²）+（2k+1）]+…+k[（k²-k²）+（2k+1）]，
=1×（k²-1²）+2×（k²-2²）+3×（k²-3²）+…+k（k²-k²）+（2k+1）（1+2+3+…+k），
=$\frac{1}{4}$k²（k²-1）+（2k+1）$•\frac{1}{2}$k（k+1），
=$\frac{1}{4}$k（k+1）（k²+3k+2），
=$\frac{1}{4}$（k+1）²k（k+2），
=$\frac{1}{4}$（k+1）²[（k+1）²-1]，
所以当n=k+1时等式成立，
综上所述，对任意n∈N^*，原等式成立．

点评 本题主要考查归纳推理，数学归纳法，数列的通项等相关基础知识．考查运算化简能力、推理论证能力和化归思想