Question

10．等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₂-a₁=6，9a₃²=a₂a₆．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，数列{$\frac{1}{b_n}$}的前n项和T_n，求证：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用对数的运算性质、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设a_n公比为q，因为{a_n}的各项均为正数，则q＞0，
$\left\{\begin{array}{l}{a_2}-{a_1}={a_1}q-{a_1}=6\\ 9a_3^2={a_2}{a_6}⇒9a_1^2{q^4}={a_1}q•{a_1}{q^5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\ q=3\end{array}\right.$，
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}={3^n}$．
（2）${b_n}={log_3}{a_1}+{log_3}{a_2}+…+{log_3}{a_n}=1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{b_n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴${T_n}=2（1-\frac{1}{2}）+2（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=2（1-\frac{1}{n+1}）＜2$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其求和公式、“裂项求和”方法、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．