Question

15．某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如表：

价格x（元/kg）	10	15	20	25	30
日需求量y（kg）	11	10	8	6	5

（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）当价格x=40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？

Answer 1

分析 （I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（II）把x=40，代入回归方程解出y即可．

解答 解：（Ⅰ）$\overline x=\frac{1}{5}（{10+15+20+25+30}）=20$，（1分）
$\overline y=\frac{1}{5}（{11+10+8+6+5}）=8$，（2分）
$\sum_{i=1}^5{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}={{（{-10}）}^2}+{{（{-5}）}^2}+{0^2}+{5^2}+{{10}^2}=250}$，（3分）
$\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）=}$-10×3+（-5）×2+0×0+5×（-2）+10×（-3）=-80．（4分）
$b=\frac{{\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^5{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{-80}{250}=-0.32$．（6分）$a=\overline y-b\overline x=8+0.32×20=14.4$．（8分）
所求线性回归方程为$\widehaty=-0.32x+14.4$．（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x=40时，$\widehaty=-0.32×40+14.4=1.6$．（11分）
故当价格x=40元/kg时，日需求量y的预测值为1.6kg．（12分）

点评 本题考查线性回归方程，解题的关键是利用最小二乘法写出线性回归系数，注意解题的运算过程不要出错，属于基础题．