Question

6．已知cosα=$\frac{1}{3}$，cos（α+β）=-$\frac{1}{3}$，且α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），则cosβ=$\frac{7}{9}$，2α+β=π．

Answer 1

分析 利用同角三角函数基本关系式先求sinα，sin（α+β）的值，根据两角和与差的余弦函数公式可求cosβ，cos（2α+β）的值，求得2α+β的范围，从而确定其值．

解答 解：∵cosα=$\frac{1}{3}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），cos（α+β）=-$\frac{1}{3}$，
∴α+β∈（0，π），sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=（-$\frac{1}{3}$）×$\frac{1}{3}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{7}{9}$，
cos（2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos（α+β）cosα-sin（α+β）sinα=（-$\frac{1}{3}$）×$\frac{1}{3}$-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=-1，
∵2α+β∈（0，$\frac{3π}{2}$），
∴2α+β=π．
故答案为：$\frac{7}{9}$，π．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和与差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．