Question

14．已知函数f（x）=2x²-ax+a²-4，g（x）=x²-x+a²-8，a∈R．
（1）当a=1时，解不等式f（x）＜0；
（2）若对任意x＞0，都有f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围；
（3）若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入解关于x的不等式即可；（2）问题转化为x²+（1-a）x+4＞0在x＞0恒成立，通过讨论判别式得到关于a的不等式组，解出即可；
（3）问题转化为f（x）_min＞g（x）_max，x∈[0，1]，通过讨论a的范围求出f（x）的最小值以及g（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=2x²-x-3，
令f（x）＜0，得：（2x-3）（x+1）＜0，解得：-1＜x＜$\frac{3}{2}$；
（2）若对任意x＞0，都有f（x）＞g（x）成立，
即x²+（1-a）x+4＞0在x＞0恒成立，
令h（x）=x²+（1-a）x+4＞0，（x＞0），
△=（1-a）²-16＜0即-3＜a＜5时，
h（x）和x轴无交点，开口向上，符合题意，
△≥0时，解得：a≥5或a≤-3，
只需$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=4＞0}\\{-\frac{1-a}{2}＜0}\end{array}\right.$，解得：a＜1，
综上：a＜5；
（3）若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，
即只需满足f（x）_min＞g（x）_max，x∈[0，1]，
g（x）=x²-x+a²-8，对称轴x=$\frac{1}{2}$，g（x）在[0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，1]递增，
∴g（x）_max=g（0）=g（1）=a²-8，
f（x）=2x²-ax+a²-4，对称轴x=$\frac{a}{4}$，
①$\frac{a}{4}$≤0即a≤0时，f（x）在[0，1]递增，f（x）_min=f（0）=a²-4＞g（x）_max=a²-8恒成立，
②0＜$\frac{a}{4}$＜1即0＜a＜4时，f（x）在[0，$\frac{a}{4}$）递减，在（$\frac{a}{4}$，1]递增，
f（x）_min=f（$\frac{a}{4}$）=$\frac{7}{8}$a²+4，g（x）_max=a²-8，
∴$\frac{7}{8}$a²+4＞a²-8，解得：0＜a＜2$\sqrt{6}$，
③$\frac{a}{4}$≥1即a≥4时，f（x）在[0，1]递减，
f（x）_min=f（1）=a²-a-2，g（x）_max=a²-8，
∴a²-a-2＞a²-8，解得：4≤a＜6，
综上：a∈（-∞，2$\sqrt{6}$）∪[4，6）．

点评 本题考查了解不等式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．