Question

14．已知函数f（x）=a^x+（k-1）a^-x（a＜1）是定义域为R的偶函数．
（Ⅰ）求k的值．
（Ⅱ）若f（1）=$\frac{5}{2}$且g（x）=a^2x+a^-2x-2m•f（x）的最小值为-3，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用偶函数的定义：f（-x）=f（x），化简整理可得k=2；
（Ⅱ）由$f（1）=\frac{5}{2}$，可得a=$\frac{1}{2}$，即有f（x）=2^x+2^-x，g（x）=2^2x+2^-2x-2m•（2^x+2^-x），可令t=2^x+2^-x≥2，则2^2x+2^-2x=t²-2，令h（t）=t²-2mt-2，求出对称轴，讨论与区间[2，+∞）的关系，求得最小值，解方程可得m的值．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）是定义域为R的偶函数，可得?x∈R，f（-x）=f（x），…（1分）
即a^-x+（k-1）a^x=a^x+（k-1）a^-x，…（2分）
化简得：（k-2）（a^x-a^-x）=0…（4分）
因为x为任意实数，所以k=2（用特殊值法要检验，否则扣一分）…（5分）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=a^x+a^-x，因为$f（1）=\frac{5}{2}$，所以$a+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}$，
解得a=$\frac{1}{2}$或a=2（舍去），…（6分）
故f（x）=2^x+2^-x，g（x）=2^2x+2^-2x-2m•（2^x+2^-x），
令t=2^x+2^-x≥2，则2^2x+2^-2x=t²-2，…（8分）
令h（t）=t²-2mt-2=（t-m）²-m²-2，t≥2，又因为h_min=-3，
①当m≤2时，h（t）在[2，+∞）上是增函数，
则h（2）=-3，即4-4m-2=-3，
解得m=$\frac{5}{4}$，…（9分）
②当m＞2时，h（t）在[2，m]上是减函数，在[m，+∞）上是增函数，
则h（m）=-3，即-m²-2=-3，解得m=±1（舍去）      …（11分）
综上：m=$\frac{5}{4}$                      …（12分）

点评 本题主要考查函数的解析式、奇偶性等基础知识，考查运算求解能力、分类讨论的思想，考查化归的思想．