Question

3．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l交椭圆于A，B两个不同点．
（1）求椭圆的方程；   
（2）求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出椭圆的方程，利用长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；   
（2）由直线方程代入椭圆方程，利用根的判别式，即可求m的取值范围．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）
则$\left\{\begin{array}{l}{a=2b}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$…（2分）  
解得a²=8，b²=2…（5分）
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；…（6分）
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又K_OM=$\frac{1}{2}$，∴l的方程为：y=$\frac{1}{2}$x+m                   
由直线方程代入椭圆方程x²+2mx+2m²-4=0，…（8分）
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，…（10分）
解得-2＜m＜2，且m≠0．  …（12分）

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．