Question

已知函数f（x）与g（x）均是定义域为R的增函数，求证：利用单调性的定义域证明f（x）+g（x）在R上为增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：根据单调性的定义，设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，并设F（x）=f（x）+g（x），由函数f（x）与g（x）均是定义域为R的增函便可得到f（x₁）+g（x₁）＜f（x₂）+g（x₂），所以F（x₁）＜F（x₂），这便证出了（x）+g（x）在R上为增函数．

解答： 证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，并设F（x）=f（x）+g（x）；
∵f（x），g（x）在R上是增函数；
∴f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＜g（x₂）；
∴f（x₁）+g（x₁）＜f（x₂）+g（x₂）；
即F（x₁）＜F（x₂）；
∴F（x）为R上的增函数；
即f（x）+g（x）在R上为增函数．

点评：考查增函数的定义，以及利用增函数的定义证明函数为增函数．