Question

【题目】已知函数f（x）=ax+ （a∈R）g（x）=lnx．
（1）若对任意的实数a，函数f（x）与g（x）的图象在x=x0处的切线斜率总相等，求x0的值；
（2）若a＞0，对任意x＞0，不等式f（x）﹣g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，g（x）=lnx，

∴f′（x）=a+ ，g′（x）= ，

由题设知x0＞0，且f′（x0）=g′（x0），即a+ = ，

∴a ﹣x0+1﹣a=0，即a（ ﹣1）+（1﹣x0）=0

∵上式对任意实数a恒成立，

∴ ，解得x0=1，

故x0=1；

（2）解：∵ ，g（x）=lnx，

∴f（x）﹣g（x）≥1，即ax+ ，

令h（x）=ax+ ，则h（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立，

又h′（x）=a+ ﹣ = = （x＞0，a＞0），

①若0＜a≤ ，则﹣1+ ，

∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，

则h（x）在（0，1）单调递增，

∴h（x）＜h（1）=2a﹣1≤0，

这与h（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立矛盾，

故0＜a≤ 不符合题意；

②若 ＜a＜1，则0 ，

∴当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，

则h（x）在（1，+∞）上单调递增，

∴h（x）＞h（1）=2a﹣1，

而h（1）=2a﹣1＜1，

这与h（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立矛盾，

故 ＜a＜1不符合题意；

③若a≥1，则﹣1+ ，

∴当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，

则h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）在（1，+∞）上单调递增，

∴h（x）min=h（1）=2a﹣1≥1，即h（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立，

∴a≥1符合题意．

综合①②③，实数a的取值范围是[1，+∞）

【解析】（1）利用导数的几何意义，分别求出f（x）和g（x）在x=x0处的切线的斜率，则有f′（x0）=g′（x0）对任意实数a总成立，从而列出关于x0的方程，求解即可得答案；（2）将不等式f（x）﹣g（x）≥1等价表示为ax+ ，令h（x）=ax+ ，求出导函数，利用导函数的正负，确定函数h（x）的单调性，判断出h（x）的取值范围，从而得到实数a的取值范围．