Question

11．函数f（x）=（log₂x）²-log₂x²+3，当x∈[1，4]时，f（x）的最大值为m，最小值为n
（1）若角α的始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P（m，n），求sinα+cosα的值；
（2）设$g（x）=mcos（nx+\frac{π}{m}）-m$，求g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）令t=log₂x则t∈[0，2]此时函数可能化为y=t²-2t+3
由y=t²-2t+3是开口朝上，对称轴为x=1的抛物线，可得m=3，n=2
由三解函数定义有$sinα+cosα=\frac{m+n}{{\sqrt{{m^2}+{n^2}}}}=\frac{{5\sqrt{13}}}{13}$；
（2）$g（x）=3cos（2x+\frac{π}{3}）-3$，令$θ=2x+\frac{π}{3}$，
则$θ∈[\frac{π}{3}，\frac{4}{3}π]$，$cosθ∈[-1，\frac{1}{2}]$，即可得g（x）的值域．

解答 解：（1）令t=log₂x则t∈[0，2]此时函数可能化为y=t²-2t+3
∵y=t²-2t+3是开口朝上，对称轴为x=1的抛物线，
∴当t=1时，y_min=2；
当t=0或2时，y_max=3，
∴m=3，n=2…（3分）
由三解函数定义有$sinα+cosα=\frac{m+n}{{\sqrt{{m^2}+{n^2}}}}=\frac{{5\sqrt{13}}}{13}$…（6分）
（2）$g（x）=3cos（2x+\frac{π}{3}）-3$
令$θ=2x+\frac{π}{3}$，则$θ∈[\frac{π}{3}，\frac{4}{3}π]$，∴$cosθ∈[-1，\frac{1}{2}]$，
∴g（x）的值域为[-6，-$\frac{3}{2}$]…（12分）

点评 本题考查了换元法求值域、三角函数值域，属于中档题．